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呃,我觉得我的笔记稍稍有点混乱了...这周讲的依旧是线性分类器,logit为主。anyway,大家将就着看吧。
首先我们考虑最一般的,有K种分类的场合。依旧,我们用 G
来代替 Y作为观测到的分类结果,那么则有:
G^=argmaxGP(G|X)
为最优的预测结果。这里我们希望找到一种线性的形式,还需要使用一些单调变换保证预测值在 [0,1] 之间。因此,我们对于每个分类 k ,假设 P(G=k|X=x)=eXβk∑Kk=1eXβk进一步的,我们取任意类K作为对照组,且各组相加概率之和必为1,所以有:
P(G=k|X=x)=eXβk1+∑K−1k=1eXβk
且 P(G=K|X=x)=11+∑K−1k=1eXβk所以,最终得到两组之间的概率比值为: P(G=k|X=x)P(G=K|X=x)=eXβk⇒log(P(G=k|X=x)P(G=K|X=x))=Xβk
最后求解的时候,就是直接用最大似然准则,来求解 maxL(β)=max∑Ni=1logP(Gi|Xi)
这个最大似然函数计算起来比较麻烦,通常很多是数值解。下面以 K=2
为例,来展示求解过程。
首先我们这个时候有两类,不妨记作1和0,则 P(G=1|X=x)=eXβ1+eXβ≡σ(Xβ)
P(G=0|X=x)=11+eXβ=1−σ(Xβ)
则它的对数似然函数:
L(β)===∑i=1N[GilogP(Gi=1|X=xi)+(1−Gi)logP(Gi=0|X=xi)∑i=1N[GilogP(Gi=1|X=xi)P(Gi=0|X=xi)+logP(Gi=0|X=xi)]∑i=1N[GiXiβ+log(1−σ(Xiβ))]
然后我们求导可得: ∂L(β)∂β=∑Ni=1[GiXi−σ(Xiβ)Xi]=∑Ni=1[Gi−σ(Xiβ)]Xi
之后可以用牛顿法迭代求数值解:
βnew=βold±(∂2L(β)∂β∂β)−1∂L(β)∂β
其中二阶导数部分可以化简为: ∂2L(β)∂β∂β=−∑Ni=1X′iXi[σ(Xiβ)(1−σ(Xiβ))]
记 Σ(β)=⎡⎣⎢⎢σ(X1β)⋮σ(XNβ)⎤⎦⎥⎥
且 W=⎡⎣⎢⎢σ(X1β)(1−σ(X1β))⋱σ(XNβ)(1−σ(XNβ))⎤⎦⎥⎥
则 βnew←βold+(X′WX)−1X′(G−Σ(βold))=(X′WX)−1X′WOLS[Xβold+W−1(G−Σ(βold))]Z
经过简化之后,这里相当于加权的最小二乘法,目标函数为 argminβnew(Z−Xβ)′W(Z−Xβ)
所以整个算法可以写作:
0. 令 β=0
或任意起始值
1. 计算 Z
矩阵.
2. 新的 β
为 argminβnew(Z−Xβ)′W(Z−Xβ).
3. 重复1,2步直至收敛。
这类方法成为IRLS(不断重写的加权最小二乘法)。
其实也没什么定论,两者均为线性,只是一般我们认为LDA需要假设联合正态且方差相等,比较强;而logit假设没有这么强,相比而言更稳定。
perceptional分类器是一类相对简单的分类算法,以两类场合为例。为了方便起见,我们假设两类为1和-1,则目标是找出一条直线可以完全分割出来两群点。这里转化成数学的语言,就是找到W使得 { Gi=1Gi=−1XiW>0XiW<0
或者简化为: GiXiW>0
算法也很简单:
1. 给定任意的W值,比如0. 如果 GiXiW≤0
,出错。
2. 令新的 W←W+GiXi
,重复第一步。
这里可证一个定理:如果原数据集是线性可分的(即W存在),那么在有限步内perceptional算法收敛。其实从第二步可以看出,这样的改进总是趋近于目标的: GiXiWnew=GiXiWold+X′iXi
,一定是在逐步增加的。
同样的算法推广到多累场合,我们就需要引入特征向量 Φ(x,G)βk
,使得条件概率 P(G=k|X=x)=Φ(x,G)βk 。这样我们的目标就是找到 β 使得 Gi^=argmaxΦ(x,G)β同样的, β
从0开始,当 Gi^≠Gi 时, β←β+[Φ(xi,Gi)−Φ(xi,Gi^)],直至收敛。
不过有意思的是,实践证明,最后使用 β
训练过程中的 β1,...,βm 的平均值效果会更好,而不是最终的 β值。
--------笔记结束,废话开始--------
到这里,分类器吴老师已经介绍了三类:LDA,Logit和perceptional。其实我一直觉得比较好玩的是分类器和聚类方法的对比——虽然一个是有监督,一个是无监督的学习,不过有的时候我们就算有 Y
的观测值也不一定直接就去用——聚类方法某种程度上显得更加自然一些。这也是大家把模型与实际业务相结合起来的成果吧,总要更符合业务上的直觉才可以。是自然的展现群落的形态,还是给定一些条条框框只是去预测?实践中真的是,都去试试才知道那种更符合一个具体案例的需求。这也是在industry玩的比较开心的缘故,没有那么多条条框框,没有那么多“约定俗成“的规矩,需要自己去一步步挖掘这些算法的用武之地。看着一个个自己熟悉或者陌生的模型被逐渐的改造和应用,也是一件蛮开心的事情呢。转载地址:http://mdvqj.baihongyu.com/